Valeur moyenne d'une fonction

Définition

Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\). Soit \(f\) une fonction définie sur \([a~;~b]\).
La valeur moyenne de \(f\) sur \([a~;~b]\) est le nombre réel \(\boxed{\mu =\dfrac{1}{b-a}\displaystyle \int_a^b f(x)\ \text d x}\).

Remarque Interprétation graphique dans le cas où \(f\) est positive

Par définition de la valeur moyenne \(\mu\), on a \((b-a)\mu=\displaystyle \int_a^b f(x)\ \text d x\) en multipliant de chaque côté par \(b-a\).
On suppose que \(f\) est positive et on se place dans un repère orthogonal.
\(\displaystyle \int_a^b f(x)\ \text d x\) est l'aire sous la courbe représentative de \(f\) entre \(a\) et \(b\), en unités d'aire.
Cette aire est donc égale à celle du rectangle dont les dimensions sont \((b −a)\) et \(\mu\).
Ainsi, la valeur moyenne \(\mu\) s’interprète comme l’une des dimensions d’un rectangle dont l’aire est égale à l’intégrale \(\displaystyle \int_a^b f(x)\ \text d x\) et dont l’autre vaut \(b - a\).